诚实链 和 影子链竞赛的过程,符合二项随机游走。最终的结果 符合 二项分布。
为了获得利益, 攻击者必须要先前的某个块开始计算。因为 攻击者 只能花自己已经花过的钱。所以 攻击者 一定从开始落后。所以攻击者需要追赶。并且 要领先。
因为影子链出一个块的概率51%,而诚实链出一个块的概率只有49%。随着大数定理。 类似于 51 m/s  速度 和 49m/s的速度 。51 m/s   落后 100m 。时间 无限 那么 不管落后多少 51m/s  的速度 一定 会超过49%
q 是攻击者的算力。p是保护者的算力。 也就是如果 攻击者算力大于保护者算力。比如超越50%一点。时间是无限的。结果 一定等于1。攻击者一定会赢。游戏就结束了。

所以如果攻击者算力 51% 这个游戏 就已经结束了。在大数定律下 根本没得玩。所以我们考虑 51%情况下 , 影子链 追赶可能性。不是100%。是有可能连续出几个块。有可能运气超级好。是有可能。我们去计算 这个可能性 有多高。

q 攻击者的算力 p 诚实的算力。 q  // p  z 是 连续出块的次数。

我们考虑 p > q 的情况 。并 重新建模 为 二项随机游走。

有 q  的概率,攻击者挖一块,差距变成 z-1
有 p 的概率,诚实链挖一块,差距变成 z + 1
问题在  从落后z步开始,攻击者最终能把距离缩小到0,我们把这个概率称为

建立递推方程(全概率公式）
把这个过程 转换成赌徒输光定律:

因为

整理

消去p

解这个方程:

相加 抵消:

等比数列求和:

对以上公式进行 迭代和修正:

二项分布:
尝试 n次 正好获得k次的概率

期望值带入:

求极限 n 无穷:

消解 整理可得：